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1、试题题目:已知函数f(x)=lnx-ax+1-ax-1(a∈R),当a≤12时,讨论f(x)的单调性.

发布人:繁体字网(网上赚钱 www.5wg5.com.cn) 发布时间:2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=lnx-ax+
1-a
x
-1(a∈R),当a≤
1
2
时,讨论f(x)的单调性.

  试题来源:不详   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:函数的单调性与导数的关系



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
f′(x)=
1
x
-a-
1-a
x2
=-
ax2-x+1-a
x2
=-
[ax+(a-1)](x-1)
x2
(x>0),
令g(x)=ax2-x+1-a,
①当a=0时,g(x)=-x+1,当x∈(0,1)时,g(x)>0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
②当0<a<
1
2
时,由f′(x)=0,x1=1,x2=
1
a
-1.此时
1
a
-1>1>0,
列表如下:

魔方格

由表格可知:函数f(x)在区间(0,1)和(
1
a
-1,+∞)
上单调递减,在区间(1,
1
a
-1)
上单调递增;
③当a=
1
2
时,x1=x2,此时f′(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)单调递减;
④当a<0时,由于
1
a
-1<0,则函数f(x)在(0,1)上单调递减;在(1,+∞)上单调递增.
综上:当a≤0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减;在(1,+∞)上单调递增.
当a=
1
2
时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.
0<a<
1
2
时,函数f(x)在区间(0,1)和(
1
a
-1,+∞)
上单调递减,在区间(1,
1
a
-1)
上单调递增.
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

网上赚钱 www.5wg5.com.cn     经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知函数f(x)=lnx-ax+1-ax-1(a∈R),当a≤12时,讨论f(x)的单调性.”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的单调性与导数的关系”。


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